Rubrika: Fyzika a matematika

Číslo pí a NASA: kolik desetinných míst skutečně stačí pro meziplanetární lety

Na sociálních sítích se často objevuje tvrzení, že NASA při meziplanetárních letech používá číslo pí zaokrouhlené pouze na patnáct desetinných míst.
Současně se uvádí, že čtyřicet desetinných míst by stačilo k výpočtu obvodu kruhu o velikosti viditelného vesmíru s chybou menší než průměr atomu vodíku.
Tato tvrzení zní dramaticky, ale opírají se o reálnou matematiku i fyziku.
Je však nutné je přesně zasadit do kontextu.

Co je číslo pí a proč je všude

Číslo pí vyjadřuje poměr obvodu kruhu k jeho průměru.
Je to iracionální číslo, což znamená, že má nekonečný počet desetinných míst bez periodického opakování.
V matematice i fyzice se objevuje v problémech, které nemají s kruhy na první pohled nic společného, například v popisu vlnění, kvantové mechaniky nebo statistiky.

Pro praktické výpočty se však číslo pí nikdy nepoužívá v nekonečné podobě.
Vždy se pracuje s konečným počtem desetinných míst, protože každé měření i každá fyzikální veličina má omezenou přesnost.

Základní přehled vlastností čísla pí shrnuje například Národní institut standardů a technologií.
Zdroj: NIST: Reference on constants and units

Používá NASA pí jen na patnáct desetinných míst

Tvrzení, že NASA používá pí pouze na patnáct desetinných míst, je zjednodušené, ale v principu pravdivé.
Dvojitá přesnost v plovoucí řádové čárce, kterou používají běžné vědecké výpočty, umožňuje zhruba patnáct až šestnáct platných desetinných míst.
To odpovídá standardu IEEE 754, který je základem většiny numerických výpočtů v inženýrství.

NASA sama uvádí, že přesnost výpočtů je vždy volena tak, aby výrazně překračovala nejistoty vstupních dat.
Používat vyšší numerickou přesnost nemá smysl, pokud nejsou fyzikální veličiny známé srovnatelně přesně.
Zdroj: NASA: Numerical methods in science

Polohy planet, gravitační pole, tlak slunečního záření i malé odchylky v tahu motorů mají nejistoty, které jsou mnohonásobně větší než chyba vzniklá zaokrouhlením čísla pí na patnáct desetinných míst.

Kolik chyb způsobí nepřesné pí

Představme si extrémní případ.
Vezmeme kružnici o poloměru odpovídajícím velikosti pozorovatelného vesmíru, tedy zhruba čtyřicet šest miliard světelných let.
To je přibližně čtyři krát deset na dvacátou šest metrů.

Pokud bychom při výpočtu obvodu této kružnice použili pí zaokrouhlené na patnáct desetinných míst, vzniklá absolutní chyba by byla řádově menší než velikost atomového jádra.
Při použití zhruba čtyřiceti desetinných míst by se chyba dostala hluboko pod průměr atomu vodíku.

Tento výsledek plyne přímo z vlastností iracionálních čísel a lineárního šíření chyby.
Formální rozbor tohoto typu odhadu uvádí například Massachusetts Institute of Technology.
Zdroj: MIT: Irrational numbers and error propagation

Proč je to fyzikálně irelevantní

Zní to ohromující, ale má to háček.
Ve skutečném vesmíru neznáme žádnou vzdálenost s přesností na velikost atomu.
Ani zdaleka.
Nejlepší kosmologická měření mají nejistoty v řádu procent nebo alespoň promile.

Například hodnota Hubbleovy konstanty, která určuje rozpínání vesmíru, má stále nezanedbatelnou chybu.
Zdroj: NASA: Hubble constant

Používat extrémně přesné číslo pí v situaci, kdy ostatní veličiny jsou známy s mnohem menší přesností, by nemělo žádný praktický přínos.

Jaká přesnost se používá ve skutečných misích

Při navigaci kosmických sond se pracuje s kombinací analytických výpočtů a numerických simulací.
Používá se standardní dvojitá přesnost, někdy doplněná vyšší přesností v citlivých částech výpočtu.
Nikdy však nekonečný rozvoj čísla pí.

Důvod je jednoduchý.
Chyby v modelech gravitace, vliv nehomogenit planet, tlak slunečního záření a další efekty dominují nad čistě matematickou chybou.
NASA tyto faktory detailně popisuje v dokumentech o navigaci hlubokým vesmírem.
Zdroj: NASA JPL: Deep Space Navigation

Proč se podobné výroky šíří

Tvrzení o čísle pí je populární proto, že dobře ilustruje rozdíl mezi matematickou přesností a fyzikální realitou.
Ukazuje, že extrémně přesná čísla nejsou automaticky užitečná, pokud neznáme svět s odpovídající přesností.

Nejde o to, že by věda neuměla počítat.
Jde o to, že realita je vždy zatížena nejistotami, které nelze obejít ani tisíci dalšími desetinnými místy.

Shrnutí bez senzací

Ano, pro meziplanetární lety skutečně stačí pí s omezeným počtem desetinných míst.
Ano, matematicky lze ukázat, že i pro kosmické vzdálenosti je tato přesnost extrémně vysoká.
Ale důvodem není nedbalost, nýbrž pochopení fyzikální reality.

Věda nestojí na nekonečné přesnosti čísel, ale na realistickém zacházení s nejistotami měření.